考研高等代数真题分类汇编04

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考研高等代数真题分类汇编04

在实数域上将多项式 ${f(x)=x^{5}+32}$ 分解为不可约多项式的乘积.

解答:为了方便, 记 $图片[1]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ , 则
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若 $图片[3]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ 满足 $图片[3]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ , 则有
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由此可知 $图片[5]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ , 且 $图片[5]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ , 其中 $图片[5]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ 为整数, 即有 $图片[5]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ , 现在记
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容易发现 $图片[7]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ 两两不等, 从而它们是 $图片[7]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ 的全部复数根, 即有
$图片[8]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ 另外, 还容易发现
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于是
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从而结合 $图片[11]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ 便有
${\begin{aligned} f(x) & =32\left(t^{5}+1\right)=32(t+1)\left(t^{2}-2 t \cos \frac{\pi}{5}+1\right)\left(t^{2}-2 t \cos \frac{3 \pi}{5}+1\right) \\ & =(x+2)\left(x^{2}-4 x \cos \frac{\pi}{5}+4\right)\left(x^{2}-4 x \cos \frac{3 \pi}{5}+4\right) \end{aligned} }$

将 ${f(x)=x^{5}+x^{4}+1}$ 分解为有理数域上不可约多项式的乘积.

解答:首先由于 $图片[12]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ , 所以 $图片[12]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ 在有理数域上不存在一次因式, 进而 $图片[12]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ 只可能分解为二次与三次整系数多项式的乘积, 再结合 $图片[12]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ 首一可设
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其中 $图片[14]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ 均为整数. 由对应系数相等可知
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由\ref{eq1.6}可知 $图片[20]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ , 结合\ref{eq1.5}可知 $图片[20]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ , 即 $图片[20]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ , 而由\ref{eq1.2}可知 $图片[20]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ . 下面分情况讨论:
当时, 由\ref{eq1.4}可知 ${-1-a^{2}-(1-a)=0}$ , 即 ${a^{2}-a+2=0}$ , 显然无解.

当 $图片[21]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ 时, 由\ref{eq1.3},\ref{eq1.4}可知
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解得 $图片[23]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ , 进而 $图片[23]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ , 即有
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而根据无有理根可知 ${x^{2}+x+1}$ 与 ${x^{3}-x+1}$ 均无有理根, 从而它们在有理数域上不可约.

求多项式 ${f(x)=\dfrac{2}{3} x^{5}-x^{4}+2 x^{3}-\frac{8}{3} x^{2}+1}$ 在复数域上的标准分解式.

解答:为了方便, 记
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容易 $图片[26]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ 存在有理根 1 , 由此可知
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而明显 $图片[28]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ 依旧以 1 为根, 进而
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而此时容易发现 $图片[30]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ 以 $图片[30]-考研高等代数真题分类汇编04-后端论坛-技术分享-千百度社区$ 为根, 于是
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综上可知
${ f(x)=\frac{1}{3} g(x)=\frac{2}{3}(x-1)^{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-\sqrt{3} \mathrm{i})(x+\sqrt{3} \mathrm{i}) . }$

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